Google Galaxy Nexus — Gerät startet sich automatisch neu

klingt eher danach als hättest du eine app drauf mit der das nexus nicht richtig klar kommt.
irgendwas was sich vielleicht im Hintergrund regelmäßig übers Internet aktualisiert und dann zum Absturz bzw Neustart deines Gerätes führt.
wenn du apps von deinem alten Handy übernommen hast, kann das sein, weil nicht alle apps schon mit ics kompatibel sind.

Lösung wäre es mal komplett zurück zusetzen und eine app nach der anderen zu installieren (das kann natürlich zeit in Anspruch nehmen, wenn der Neustart nicht so häufig vorkommt)

wie oft hat es sich in den letzten tagen neugestartet?

das könnte auch mit deinem zweiten Problem zusammen hängen, wenn das Handy versucht die app zu aktualisieren und sich dann quasi kurz zurücksetzt.

Ich tippe auch auf eine inkompatible App - mein gerät ist absolut stabil (trotz sehr vieler installierter Apps)
Das zweite problem ist kein Problem sondern ein Feature
Du hast "Autoupdate" und "WLan bei ausgeschaltetem Bildschirm" aktiviert.
Auch das mit dem Bildschirm kann man konfigurieren - müsste jetzt aber experimentieren..

ich habe seit kurzem das selbe Problem mit dem Neustart, welches app hast du gelöscht.

Was heißt "seit kurzem"? Hast du deine apps alle gleichzeitig wieder installiert? Wenn nicht, dann sieh einfach mal nach, welche apps du als letztes installiert hast.
Es können durchaus unterschiedliche apps sein, die bei euch das selbe Problem auslösen.
Die Lösung muss bei dir also nicht die Selbe sein wie bei ihm.